Радиан

Материал из Википедии - свободной энциклопедии.

Радиан математике и физике ) - это единица измерения плоскостных углов , принятая Международная система единиц СИ .

Один радиан это плоскостной угол, образованный двумя радиусами , Так что длина дуги между ними равен радиусу круга . То есть, измерения угла в радианах показывает во сколько раз длина дуги окружности, опирающейся на этот угол, отличается от его радиуса.

Радиан является безразмерной единицей измерения и имеет обозначение советов (международное - rad) [1] , Но, как правило, при написании это обозначение не пишется. При измерении углов в градусах используют обозначения °, для того чтобы отличить от величин, выраженных в радианах.

Полная длина окружности равна 2 π r, где r - радиус окружности. Поэтому полный круг является углом в 2 π ≈6.28319 радиан. Преобразование радианов в градусы и наоборот осуществляется следующим образом:

2 π {\ displaystyle {2 \ pi}} 2 π {\ displaystyle {2 \ pi}}   рад = 360 ∘ {\ displaystyle = 360 ^ {\ circ}}   , 1 рад (или p ∘ {\ displaystyle p ^ {\ circ}}   ) = 360 ∘ 2 π = 180 ∘ π ≈ 57,295 779513 ∘ ≈ 57 ∘ 17 '44,806 {\ displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} = {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi}} \ approx 57 {} 295 779 513 ^ {\ circ} \ approx 57 ^ {\ circ} 17ь44 {} 806 ''} рад = 360 ∘ {\ displaystyle = 360 ^ {\ circ}} , 1 рад (или p ∘ {\ displaystyle p ^ {\ circ}} ) = 360 ∘ 2 π = 180 ∘ π ≈ 57,295 779513 ∘ ≈ 57 ∘ 17 '44,806 "{\ displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} = {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi}} \ approx 57 {} 295 779 513 ^ {\ circ} \ approx 57 ^ {\ circ} 17ь44 {} 806 ''} . 360 ∘ = 2 π {\ displaystyle {360 ^ {\ circ}} = {2 \ pi}} рад, 1 ∘ = 2 π 360 {\ displaystyle {1 ^ {\ circ}} = {\ frac {2 \ pi} {360}}} рад = π 180 {\ displaystyle = {\ frac {\ pi} {180}}} советов.

Широкое применение радианов в математическом анализе обусловлено тем, что выражения с тригонометрическими функциями , Аргументы которых измеряются в радианах, приобретают максимально простого вида (без числовых коэффициентов). Например, используя радианы, получим простую тождество

lim h → 0 sin ⁡ h h = 1, {\ displaystyle \ lim _ {h \ rightarrow 0} {\ frac {\ sin h} {h}} = 1} lim h → 0 sin ⁡ h h = 1, {\ displaystyle \ lim _ {h \ rightarrow 0} {\ frac {\ sin h} {h}} = 1}

что лежит в основе многих элегантных формул в математике.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, уровне самом углу, что удобно при приближенных вычислениях.

Косинус малого угла, выраженного в радианах, приближенно равна:

cos ⁡ (x) ≈ 1 - x 2 2 {\ displaystyle \ cos (x) \ approx 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}}} cos ⁡ (x) ≈ 1 - x 2 2 {\ displaystyle \ cos (x) \ approx 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}}}

Радиан есть безрозмирнисною единицей измерения. То есть числовое значение угла, измеренный в радианах, лишенное размерности. Это легко видеть из самого определения радиана, как отношение длины окружности к радиусу. Согласно рекомендациям Международного бюро мер и весов радиан интерпретируется как единица с размерностью 1 = м · м 1 (м / м, то есть метр на метр - числитель и знаменатель возможно сократить, то есть оно не размерности).

Иначе, безразмерность радиана можно видеть по выражению ряда Тейлора для тригонометрической функции sin (x):

sin ⁡ (x) = x - x 3 марта! + X 5 мая! - ⋯. {\ Displaystyle \ sin (x) = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5!}} - \ cdots.} sin ⁡ (x) = x - x 3 марта

Если бы x имел размерность, тогда эта сумма была бы лишена смысла - линейный слагаемое x нельзя было бы добавить к кубического x3 / 3! Как величины различных размерностей. Итак, x должен быть безразмерным.

  1. ДСТУ 3651.1-97 Метрология. Единицы физических величин. Производные единицы физических величин Международной системы единиц и внесистемные единицы.
  • Алексеев, В. М. Математика: Справочное повторительный курс [Текст]: [учеб. пособие] / В. Алексеев, Г. П. Ушаков; под ред. М. И. Ядренко. - М.: Высшая школа, 1992. - 494 с. - ISBN 5-11-000094-1
  • Математика для поступающих в вузы [Текст]: учебное пособие / В. Семенец, Н. Ф. Бондаренко, В. А. Дикарев и др. - Харьков: СМИТ, 2002. - 1120с. - ISBN 966-7714-88-8 . - ISBN 966-95983-1-1